Makalah mekanika fluida

BAB I

PENGENALAN FLUIDA DAN PARAMETER FISIK

1.1 Definisi Fluida

Fluida ( zat alir ) adalah zat yang dapat mengalir dan memberikan sedikit hambatan terhadap bentuk ketika ditekan, misalnya zat cair dan gas. Fluida dapat digolongkan dalam dua macam, yaitu fluida statis dan fluida dinamis. Fluida atau zat alir adalah bahan yang dapat mengalir dan bentuknya dapat berubah dengan perubahan volume. Fluida mempunyai kerapatan yang harganya tertentu pada suhu dan tekanan tertentu.Jika kerapatan fluida dipengaruhi oleh perubahan tekanan maka fluida itu dapat mampat atau kompresibel. Sebaliknya fluida yang kerapatannya hanya sedikit dipengaruhi oleh perubahan tekanan disebut tidak dapat mampat atau inkompresibel. Contoh fluida kompresibel adalah udara (gas) sedangkan yang inkompresibel adalah air (zat cair).

Fluida statis adalah fluida yang tidak bergerak atau dalam keadaan diam, misalnya air dalam gelas. Dalam fluida statis kita mempelajari hukum-hukum dasar yang dapat menjelaskan antara lain: mengapa makin dalam kita menyelam makin besar tekanan yang kit alami; mengapa kapal laut yang terbuat dari besi dapat mengapung di permukaan air laut; managpa kapal selam dapat melayang, mengapung dan tenggelam dalam air laut; mengapa nyamuk dapat hinggap dipermukaan air; berapa ketinggian zat akan naik dalam pipa kapiler.

Sifat fluida tidak dapat dengan mudah dimampatkan, sehingga fluida dapat menghasilkan tekanan normal pada semua permukaan yang berkontak dengannya. Pada keadaan diam (statik), tekanan tersebut bersifat isotropik, yaitu bekerja dengan besar yang sama ke segala arah. Karakteristik ini membuat fluida dapat mentransmisikan gaya sepanjang sebuah pipa atau tabung, yaitu, jika sebuah gaya diberlakukan pada fluida dalam sebuah pipa, maka gaya tersebut akan ditransmisikan hingga ujung pipa. Jika terdapat gaya lawan di ujung pipa yang besarnya tidak sama dengan gaya yang ditransmisikan, maka fluida akan bergerak dalam arah yang sesuai dengan arah gaya resultan.

Konsepnya pertama kali diformulasikan, dalam bentuk yang agak luas, oleh matematikawan dan filsuf Perancis, Blaise Pascal pada 1647 yang kemudian dikenal sebagai Hukum Pascal. Hukum ini mempunyai banyak aplikasi penting dalam hidrolika. Galileo Galilei, juga adalah bapak besar dalam hidrostatika.

Satuan untuk gaya yang bekerja, di dalam system ini diturunkan dari hukum Newton II yaitu:

F = m . a

Dimana:

F= gaya dalam Newton (N)

m = massa dalam kilogram (kg)

a = percepatan dalam m/det2

atau: suatu gaya sebesar 1 N (Newton) mempercepat suatu massa sebesar 1 kg (kilogram) pada harga percepatan sebesar 1 m/det2.

Dalam hal ini:

Selain system Satuan Internasional (SI) di Indonesia masih banyak yang menggunakan system satuan MKS, dimana di dalam system ini kilogram (kg) digunakan sebagai satuan berat atau gaya. Dalam hal ini satuan massa adalah kilogram massa (kg m), terbentuk:

G = m . g

Dimana:

G = gaya berat dalam kilogram gaya (kgf)

M = massa dalam kilogram massa (kgm)

g = gaya gravitasi dalam m/det2

Dalam hal ini:

Karena nilai massa untuk satuan SI (kg) dan satuanMKS (kgm) adalah sama maka, Pers awal dapat subtitusikan kedalam Pers. Akhir yang menghasilkan:

Atau

K g f = g N

Dimana :

g = 9,81 m/det2

1.2 Jenis Fluida

Fluida pada dasarnya terbagi atas dua kelompok besar berdasarkan sifatnya, yaitu fluida cairan dan fluida gas. Fluida diklasifikasikan atas 2, yaitu:

1. Fluida Newton: Dalam fluida Newton terdapat hubungan linier antara besarnya tegangan geser diharapkan dan laju perubahan bentuk yang diakibatkan.

2. Fluida non Newton: Disini terdapat hubungan yang tak linier antara besarnya tegangan geser yang diterapkan dengan laju perubahan bentuk sudut.

Namun, dapat pula kita klasifikasikan berdasarkan hal berikut;

a. Berdasarkan kemampuan menahan tekanan:

 Fluida incompressible (tidak termampatkan), yaitu fluida yang tidak dapat dikompressi atau volumenya tidak dapat ditekan menjadi lebih kecil sehingga r-nya (massa jenisnya) konstan.

 Fluida compressible (termampatkan), yaitu fluida yang dapat dikompressi atau volumenya dapat ditekan menjadi lebih kecil sehingga r-nya (massa jenisnya) tidak konstan.

b. Berdasarkan struktur molekulnya:

 Cairan: Fluida yang cenderung mempertahankan volumenya karena terdiri atas molekul-molekul tetap rapat dengan gaya kohesif yang relatif kuat dan fluida cairan praktis tak compressible.

 Gas: Fluida yang volumenya tidak tertentu karena jarak antar molekul-molekul besar dan gaya kohesifnya kecil sehingga gas akan memuai bebas sampai tertahan oleh dinding yang mengukungnya. Pada fluida gas, gerakan momentum antara molekulnya sangat tinggi, sehingga sering terjadi tumbukan antar molekul.

c. Berdasarkan tegangan geser yang dikenakan:

 Fluida Newton adalah fluida yang memiliki hubungan linear antara besarnya tegangan geser yang diberikan dengan laju perubahan bentuk yang diakibatkan.

 Fluida non Newton adalah fluida yang memiliki hubungan tidak linear antara besarnya tegangan geser dengan laju perubahan bentuk sudut.

d. Berdasarkan sifat alirannya:

 Fluida bersifat Turbulen, dimana alirannya mengalami pergolakan (berputar-putar).

 Fluida bersifat Laminar (stream line), dimana alirannya memiliki lintasan lapisan batas yang panjang, sehingga dikatakan juga aliran berlapis-lapis.

1.3 Parameter Fluida

a. Densitas

Kerapatan cairan adalah suatu ukuran dari konsentrasi massa dan dinyatakan dalam bentuk massa tiap satuan volume. Oleh karena temperatur dan tekanan mempunyai pengaruh (walaupun sedikit) maka kerapatan cairan dapat didefinisikan sebagai: massa tiap satuan volume pada suatu temperatur dan tekanan tertentu.

Kerapatan dari air pada tekanan standard/tekanan atmosfer (760 mm Hg) dan temperatur 4oC adalah 1000 kg/m3.

Kerapatan relative (S) adalah suatu cairan (specific density) didefinisikan sebagai perbandingan antara kerapatan dari cairan tersebut dengan kerapatan air.

Dengan demikian harga ( S ) tersebut tidak berdimensi. Walaupun temperatur dan tekanan mempunyai pengaruh terhadap kerapatan namun sangat kecil sehingga untuk keperluan praktis pengaruh tersebut diabaikan.

b. Viskositas

Viskositas atau kekentalan dari suatu cairan adalah salah satusifatcairanyang menentukan besarnya perlawanan terhadap gaya geser. Viskositas terjadi terutama karena adanya interaksi antara molekul-molekul cairan.

Gambar 1.1 Perubahan bentuk akibat dari penerapan gaya-gaya geser tetap

Suatu cairan dimana viskositas dinamiknya tidak tergantung pada temperatur, dan tegangan gesernya proposional (mempunyai hubungan liniear) dengan gradient kecepatan dinamakan suatu cairan Newton.Perilaku viskositas dari cairan ini adalah menuruti Hukum Newton untuk kekentalan.

Gambar 1.2. Perilaku viskositas cairan

Cairan Non Newton mempunyai tiga sub grup yaitu:

i. Cairan dimana tegangan geser hanya tergantung pada gradient kecepatan saja, dan walaupun hubungan antara tegangan geser dan gradient kecepatan tidak linier, namun tidak tergantung pada waktu setelah cairan menggeser.

ii. Cairan dimana tegangan geser tidak hanya tergantung pada gradient kecepatan tetapi tergantung pula pada waktu cairan menggeser atau pada kondisi sebelumnya.

iii. Cairan visco-elastis yang menunjukkan karakteristik dari zat pada elastis dan cairan viskus.

c. Kompresibilitas

Kemampumampatan fluida adalah salah satu sifat fluida, yaitu seberapa mudah volume dari suatu massa fluida dapat diubah apabila terjadi perubahan tekanan, artinya seberapa mampu-mampatkah fluida tersebut. Sebuah sifat yang biasa dipakai untuk mengetahui kemampu-mampatan fluida adalah modulus borongan atau Bulk modulus, dengan simbol Ev. Rumusan Modulus Bulk yaitu :

Ev = (dp/(dρ/ρ)) (T konstan)

Persamaan ini juga setara dengan rumus :

Ev = - (dp/((d∀)/∀)) (T konstan)

Perbedaan kedua persamaan diatas adalah terletak pada tanda koefisien. Koefisien persamaan Modulus Bulk yang menggunakan data perubahan densitas bernilai positif karena semakin besar gaya tekan yang didapat maka fluida akan semakin padat atau densitasnya naik. Sedangkan Koefisien persamaan Modulus Bulk yang menggunakan data perubahan volume bernilai negatif karena semakin besar gaya tekan yang di dapat fluida akan mengalami pengurangan volume.

Dari hasil nilai modulus yang kita dapat, maka dapat kita analisis bahwa semakin besar nilai Modulus Bulk, maka hal ini menunjukan bahwa fluida tersebut relatif tidak mampu mampat atau cenderung inkompresibel. Tidak mampu mampat artinya dibutuhkan perubahan tekanan yang besar untuk menghasilkan perubahan volume yang kecil.Contoh fluida yang memiliki Modulus Bulk yang besar adalah air. Dibutuhkan tekanan sebesar 210 atm hanya untuk memampatkan volume air sebesar 1%. Semakin kecil Modulus maka fluida tersebut semakin mudah untuk dimampatkan.

Lalu bagaimanakah tingkat kompresibilitas pada gas ideal?. Secara fisis dapat diartikan bahwa kompresibilitas gas ideal hanya tergantung pada perubahan tekanan dan tidak tergantung pada perubahan volumenya. Tekanan besar

kompresibilitas gas ideal besar dan sebaliknya tekanan kecil kompresibilitasnya juga kecil. Pada tekanan yang besar yang menyebabkan kompresibilitas besar tidak berarti gas ideal menjadi gas yang inkompresibel. Besar disini relatif terhadap kompresibilitas yang kecil pada tekanan yang kecil, karena kompresibilitas gas ideal yang “besar” masih sangat jauh lebih kecil dari kompresibilitas air yang nilainya sebagai berikut :

2,15 x 10 +9 (N/m2) = 2,15 x 10+9 Pa ≈ 2,15 x 10+4 atm

Catatan 1 N/m2 = 1 Pa dan 1 atm ≈ 1,01 x 105 Pa.

Dari perbandingan data tersebut kita dapat ambil kesimpulan bahwa air adalah pembanding yang digunakan sebagai standar kompresibilitas dari fluida lain.

Contoh fluida yang dianggap gas ideal adalah udara.Hal ini berdasarkan pada sifat-sifatnya yang mendekati sifat gas ideal yaitu untuk 1 tekanan atm terjadi pengurangan 1 % pada volume udara tersebut. Sehingga dapat dikatakan bahwa perubahan volume yang kecil pada gas dalam kondisi ditekan dengan tekanan yang sangat besar dapat menyebabkan perubahan tekanan yang besar.

Kebalikan dari koefisien kompresibilitas (Ev) disebut isothermal kompresibilitas (α) yang dirumuskan sebagai berikut :

Α = 1/κ

〖α = ((dρ/ρ)/dp)〗_(T konstan)

Nilai Kompresibilitas isothermal (α) suatu fluida menyatakan perubahan volume atau densitas fraksional berhubungan dengan perubahan tekanan.Satuan kompresibilitas isothermal adalah Pa-1.

Salah satu contoh pengaruh temperatur terhadap Bulk Modulus Elasticity atau Koefisien Kompresibilitas air adalah pada temperatur kurang dari 600 C kompresibilitas air mengecil dengan berkurangnya temperatur. Hal ini bisa dijelaskan bahwa temperatur sangat mempengaruhi perubahan volume atau densitas, dengan kata lain perubahan volume/densitas lebih besar dari pada perubahan tekanan. Kondisi serupa terjadi pada temperatur yang lebih besar dari 600 C, dan nilai koefisien kompresibilitas maksimum terjadi pada suhu sekitar 600 C, ini berarti perubahan tekanannya lebih besar dari pada perubahan volume.

Seperti yang kita tahu bahwa secara umum perubahan densitas suatu fluida sangat ditentukan oleh perubahan temperatur daripada oleh tekanan, sebagai contoh: fenomena kenaikan massa udara (gerakan konveksi), arus laut (upwelling), kenaikan asap pada cerobong dan fenomena lain. Ukuran variasi densitas fluida trehadap temperatur pada tekanan konstan disebut koefisien pengembangan volume (the coefficient of volume expansion), β yg didefinisikan sebagai berikut :

β=〖1/∀ ((d∀)/dT)〗_(P konstan)

Persamaan tersebut setara dengan rumus berikut :

β= -〖1/ρ (dρ/dT)〗_(P konstan)

Perbedaan kedua persamaan diatas adalah terletak pada tanda koefisien. Koefisien persamaan pengembangan volume yang menggunakan data perubahan volume bernilai positif karena semakin besar gaya pengembang yang didapat maka fluida akan semakin meregang atau volumenya bertambah. Sedangkan Koefisien persamaan pengembangan volume yang menggunakan data perubahan densitas bernilai negatif karena semakin besar gaya pengembang yang di dapat maka fluida akan mengalami pengurangan densitas.

Nilai β yang besar menunjukkan bahwa fluida tersebut “cenderung” merupakan fluida yang mampu dimampatkan dan β yang kecil “biasanya” terdapat pada fluid yang tak mampu dimampatkan. Walau demikian nilai β bukan merupakan “indikator” untuk menentukan fluida kompresibel atau tidak kompresibel, karena besar atau kecilnya nilai β merupakan ukuran relatif. Dari dua jenis atau lebih fluida yang kompresibel dapat mempunyai nilai β yang berbeda, dimana β satu fluida dapat lebih besar drpd fluida lainnya. Demikian pula pada berbagai fluida inkompresibel.

1.4 Jenis Aliran Fluida

Pada bagian ini kita akan meninjau kasus fluida bergerak/mengalir. Normalnya, ketika kita meninjau keadaan gerak dari suatu sistem partikel, kita akan berusaha memberikan informasi mengenai posisi dari setiap partikel sebagai fungsi waktu. Tetapi untuk kasus fluida ada metode yang lebih mudah yang dikembangkan mula-mula oleh Euler. Dalam metode ini kita tidak mengikuti pergerakan masing-masing partikel, tetapi kita memberi informasi mengenai keadaan fluida pada setiap titik ruang dan waktu. Keadaan fluida pada setiap titik ruang dan untuk seluruh waktu diberikan oleh informasi mengenai massa jenis (~r, t) dan kecepatan fluida ~v(~r, t). Aliran fluida dapat dikategorikan menurut beberapa kondisi

a. Bila vektor kecepatan fluida di semua titik ~v =~(~r) bukan merupakan fungsi waktu maka alirannya disebut aliran tetap (steady), sebaliknyabila tidak maka disebut aliran tak tetap (non steady).

b. Bila di dalam fluida tidak ada elemen fluida yang berotasi relative terhadap suatu titik maka aliran fluidanya disebut alira irrotasional, sedangkan sebaliknya disebut aliran rotasional.

c. Bila massa jenis adalah konstan, bukan merupakan fungsi ruang dan waktu, maka alirannya disebut aliran tak termampatkan, sebaliknya akan disebut termampatkan.

d. Bila terdapat gaya gesek dalam fluida maka alirannya disebut aliran kental, sedangkan sebaliknya akan disebut aliran tak kental. Gaya gesek ini merupakan gaya-gaya tangensial terhadap lapisan-lapisan fluida, dan menimbulkan disipasi energi mekanik.

BAB II

PENGENALAN STATIKA FLUIDA (HIDROSTATIS)

2.1 Konsep Tekanan

Sebuah gaya yang bekerja pada sebuah permukaan fluida akan selalu tegak lurus pada permukaan tersebut. Karena fluida yang diam tidak dapat menahan komponen gaya yang sejajar dengan permukaannya. Komponen gaya yang sejajar dengan permukaan fluida akan menyebabkan fluida tadi bergerak mengalir. Karena itu kita dapat mendefinisikan suatu besaran yang terkait dengan gaya normal permukaan dan elemen luasan permukaan suatu fluida.

Kita tinjau suatu fluida, dan kita ambil suatu bagian volume dari fluida itu dengan bentuk sembarang, dan kita beri nama S. Secara umum akan terdapat gaya dari luar S pada permukaannya oleh materi di luar S. Sesuai prinsip hukum Newton ketiga, mestinya akan ada gaya dari S yang, sesuai pembahasan di atas, mengarah tegak lurus pada permukaan S. Gaya tadi diasumsikan sebanding dengan elemen luas permukaan d~S , dan konstanta kesebandingannya didefinisikan sebagai tekanan.

Jadi arah F adalah tegak lurus permukaan, searah dengan arah dS , dan tekanan p adalah besaran skalar. Satuan SI dari tekanan adalah pascal(Pa), dan 1 Pa = 1 N/m2.

2.2 Konsep Kesetimbangan dan Kesetimbangan Fluida Diam

Dengan menggunakan hukum newton, kita dapat menurunkan persamaan yang menghubungkan tekanan dengan kedalaman fluida:

p = po + ρ . g . h

po adalah tekanan di permukaan.

Dengan memahami bahwa tekanan pada kedalaman h disebabkan oleh tekanan udara luar dan juga oleh gaya (berat) cairan yang berada di atasnya.

a. Hukum I Newton

Hukum ini menyatakan bahwa jika resultan gaya (jumlah vektor dari semua gaya yang bekerja pada benda) bernilai nol, maka kecepatanbenda tersebut konstan. Dirumuskan secara matematis menjadi:

Artinya :

 Sebuah benda yang sedang diam akan tetap diam kecuali ada resultan gaya yang tidak nol bekerja padanya.

 Sebuah benda yang sedang bergerak, tidak akan berubah kecepatannya kecuali ada resultan gaya yang tidak nol bekerja padanya.

Hukum pertama newton adalah penjelasan kembali dari hukum inersia yang sudah pernah dideskripsikan oleh Galileo. Dalam bukunya Newton memberikan penghargaan pada Galileo untuk hukum ini. Aristoteles berpendapat bahwa setiap benda memilik tempat asal di alam semesta: benda berat seperti batu akan berada di atas tanah dan benda ringan seperti asap berada di langit. Bintang-bintang akan tetap berada di surga. Ia mengira bahwa sebuah benda sedang berada pada kondisi alamiahnya jika tidak bergerak, dan untuk satu benda bergerak pada garis lurus dengan kecepatan konstan diperlukan sesuatu dari luar benda tersebut yang terus mendorongnya, kalau tidak benda tersebut akan berhenti bergerak. Tetapi Galileo menyadari bahwa gaya diperlukan untuk mengubah kecepatan benda tersebut (percepatan), tapi untuk mempertahankan kecepatan tidak diperlukan gaya. Sama dengan hukum pertama Newton: Tanpa gaya berarti tidak ada percepatan, maka benda berada pada kecepatan konstan.

b. Hukum III Newton

Benda apapun yang menekan atau menarik benda lain mengalami tekanan atau tarikan yang sama dari benda yang ditekan atau ditarik. Kalau anda menekan sebuah batu dengan jari anda, jari anda juga ditekan oleh batu. Jika seekor kuda menarik sebuah batu dengan menggunakan tali, maka kuda tersebut juga "tertarik" ke arah batu: untuk tali yang digunakan, juga akan menarik sang kuda ke arah batu sebesar ia menarik sang batu ke arah kuda.

Hukum ketiga ini menjelaskan bahwa semua gaya adalah interaksi antara benda-benda yang berbeda, maka tidak ada gaya yang bekerja hanya pada satu benda. Jika benda A mengerjakan gaya pada benda B, benda B secara bersamaan akan mengerjakan gaya dengan besar yang sama pada benda A dan kedua gaya segaris. Seperti yang ditunjukan di diagram, para peluncur es (Ice skater) memberikan gaya satu sama lain dengan besar yang sama, tapi arah yang berlawanan. Walaupun gaya yang diberikan sama, percepatan yang terjadi tidak sama. Peluncur yang massanya lebih kecil akan mendapat percepatan yang lebih besar karena hukum kedua Newton. Dua gaya yang bekerja pada hukum ketiga ini adalah gaya yang bertipe sama. Misalnya antara roda dengan jalan sama-sama memberikan gaya gesek.

Secara sederhananya, sebuah gaya selalu bekerja pada sepasang benda, dan tidak pernah hanya pada sebuah benda. Jadi untuk setiap gaya selalu memiliki dua ujung. Setiap ujung gaya ini sama kecuali arahnya yang berlawanan. Atau sebuah

ujung gaya adalah cerminan dari ujung lainnya.

Secara matematis, hukum ketiga ini berupa persamaan vektor satu dimensi, yang bisa dituliskan sebagai berikut. Asumsikan benda A dan benda B memberikan gaya terhadap satu sama lain.

Dengan

Fa,b adalah gaya-gaya yang bekerja pada A oleh B, dan

Fb,a adalah gaya-gaya yang bekerja pada B oleh A.

Newton menggunakan hukum ketiga untuk menurunkan hukum kekekalan momentum, namun dengan pengamatan yang lebih dalam, kekekalan momentum adalah ide yang lebih mendasar (diturunkan melalui teorema Noether dari relativitas Galileo dibandingkan hukum ketiga, dan tetap berlaku pada kasus yang membuat hukum ketiga newton seakan-akan tidak berlaku. Misalnya ketika medan gaya memiliki momentum, dan dalam mekanika kuantum.

2.3 Pengenalan Tekanan Hidrostatis

Tekanan (p) adalah satuan fisika untuk menyatakan gaya (F) per satuan luas (A).

Satuan tekanan sering digunakan untuk mengukur kekuatan dari suatu cairan atau gas.

Satuan tekanan dapat dihubungkan dengan satuan volume (isi) dan suhu. Semakin tinggi tekanan di dalam suatu tempat dengan isi yang sama, maka suhu akan semakin tinggi. Hal ini dapat digunakan untuk menjelaskan mengapa suhu di pegunungan lebih rendah dari pada di dataran rendah, karena di dataran rendah tekanan lebih tinggi.

Akan tetapi pernyataan ini tidak selamanya benar atau terkecuali untuk uap air, uap air jika tekanan ditingkatkan maka akan terjadi perubahan dari gas kembali menjadi cair. (dikutip dari wikipedia : kondensasi). Rumus dari tekanan dapat juga digunakan untuk menerangkan mengapa pisau yang diasah dan permukaannya menipis menjadi tajam. Semakin kecil luas permukaan, dengan gaya yang sama akan dapatkan tekanan yang lebih tinggi.

Tekanan Hidrostatis adalah tekanan yang terjadi di bawah air.Tekanan ini terjadi karena adanya berat air yang membuat cairan tersebut mengeluarkan tekanan.

Tekanan sebuah cairan bergantung pada kedalaman cairan di dalam sebuah ruang dan gravitasi juga menentukan tekanan air tersebut.

Hubungan ini dirumuskan sebagai berikut: "P = ρgh" dimana ρ adalah masa jenis cairan, g (10 m/s2) adalah gravitasi, dan h adalah kedalaman cairan.

BAB III

STATIKA FLUIDA (TEKANAN HIDROSTATIS)

3.1 Penurunan Tekanan Hidrostatis

Luas penampang persegi panjang, p xl, yang terletak pada kedalaman hdi bawah permukaan zat cair. Volum zat cair di dalam balok =p xl xh, sehingga massa zat cair di dalam balok adalah

m = ρ xV = ρ xp xl xh

Berat zat cair di dalam balok

F = m g = ρ p l h g

Tekanan zat cair di sembarang titik pada luas bidang yang diarsir adalah

Tekanan Hidrostatis zat cair (Ph) dengan massa jenis ρ pada kedalaman h dirumuskan dengan

Tekanan hidrostatis, Ph= ρ g h

Dalam suatu fluida yang diam, setiap bagian dari fluida itu berada dalam keadaan kesetimbangan mekanis. Kita tinjau sebuah elemen berbentuk cakram pada suatu fluida yang berjarak y dari dasar fluida, dengan ketebalan cakram dy dan luasnya A (lihat gambar).

Total gaya pada elemen cakram tadi harus sama dengan nol. Untuk arah horizontal gaya yang bekerja hanyalah gaya tekanan dari luar elemen cakram, yang karena simetri haruslah sama. Untuk arah vertikal, selain gaya tekanan yang bekerja pada permukaan bagian atas dan bagian bawah, juga terdapat gaya berat, sehingga

pA − (p + dp)A − dw = 0

dengan dw = ρgAdy adalah elemen gaya berat. Kita dapatkan

dp/dy = −ρg

Persamaan ini memberikan informasi bagaimana tekanan dalam fluida berubah dengan ketinggian sebagai akibat adanya gravitasi. Tinjau kasus khusus bila fluidanya adalah cairan. Untuk cairan, pada rentang suhu dan tekanan yang cukup besar, massa jenis cairan ρ dapat dianggap tetap. Untuk kedalaman cairan yang tidak terlalu besar kita dapat asumsikan bahwa percepatan gravitasi g konstan. Maka untuk sembarang dua posisi ketinggian y1 dan y2, kita dapat mengintegrasikan persamaan di atas

Atau

p2 − p1 = −ρg(y2 − y1)

Bila kita pilih titik y2 adalah permukaan atas cairan, maka tekanan yang beraksi di permukaan itu adalah tekanan udara atmosfer, sehingga

p = p0 + ρgh

dengan h = (y2 − y1) adalah kedalaman cairan diukur dari permukaan atas. Untuk kedalaman yang sama tekanannya sama.

Kasus lain adalah bila fluidanya adalah gas, atau lebih khusus lagi bila fluidanya adalah udara atmosfer bumi. Sebagai titik referensi adalah permukaan laut ketinggian nol), dengan tekanan p0 dan massa jenis ρ0. Kita asumsikan gasnya adalah gas ideal yang mana massa jenisnya sebanding dengan tekanan, sehingga

Kemudian

Atau

yang bila diintegralkan akan menghasilkan

3.2 Aplikasi Tekanan Hidrostatis

a. Gaya Tekanan pada Bidang Datar yang Terendam Air

Dipandang suatu bidang datar berbentuk segi empat yang terletak miring dengan sudut α terhadap bidang horisontal (muka zat cair). Bidang tersebut terendam dalam zat cair diam dengan berat jenis γ. Dicari gaya hidrostatis pada bidang tersebut dan letak titik tangkap gaya tersebut pada bidang. Apabila luas pias adalah dA, maka besarnya gaya tekanan pada pias tersebut adalah:

dF = p dA

dF = h γ dA

karena h = y sin α, maka

dF = y sin α γdA

gaya tekanan total adalah

F = ∫ = γ sin α ∫

Dengan ∫ adalah momen statis bidang A terhadap sumbu x yang besarnya sama dengan A yo, dimana yo adalah jarak pusat berat luasan (bidang) terhadap sumbu x. Sehingga

F = y sin α A yo

F = A yho atau F = A po

Dengan:

F : Gaya tekanan hidrostatis

A : luas bidang tekanan

po: tekanan hidrostatis pada pusat berat bidang

ho : jarak vertical antara pusat berat benda dan permukaan zat cair

b. Gaya Tekanan pada Bidang Lengkung yang Terendam Air

Gaya hidrostatik pada bidang lengkung dengan fungsi tertentu dapat ditentukan sebagai berikut:

Besarnya gaya hidrostatik, juga dapat diuraikan dalam arah horisontal ( H F ) dan arah vertikal ( V F ), dan dinyatakan sebagai berikut:

BAB IV

STATIKA FLUIDA (KESETIMBANGAN BENDA TERAPUNG)

4.1 Prinsip dan Komponen Kesetimbangan Benda Terapung

Di dalam bab terdahulu telah dipelajari bahwa benda yang terendam di dalam zat cair mengalami tekanan pada permukaannya. Komponen horisontal gaya teknan yang bekerja pada benda adalah sama tetapi berlawanan arah sehingga makin menghilangkan. Gaya tekanan vertikal yang bekerja pada benda yag terendam tidak saling meniadakan. Komponen gaya vertikal kebawah yang ditimbulkan oleh zar cair bekerja pada permukaan atas benda, sedangkan komponen ke atas bekerja pada permukaan bawah benda. Karena tekanan tiap satuan luas bertambah dengan kedalaman, maka komponen arah ke atas lebih besar dari komponen arah ke bawah; dan resultannya adalah gaya yang ke atas yang bekerja pada benda. Gaya ke atas ini disebut juga gaya apung. Benda terapung seperti kapal, pelampung, dsb menggunakan prinsip terapung.

Selain mengalami gaya apung dengan arah ke atas, benda juga mempunyi gaya berat dengan arah berlawanan ke arah bawah. Oleh karena itu, kedua gaya tersebut bekerja pada arahyang berlawanan, maka harus dibandingan besar kedua gaya tersebut. Apabila gaya berat lebih besar dari gaya apung,bnda akan tenggelam. Jika gaya berat lebih kecil dari gaya apung, benda akan megapung.

Hukum Archimedes

Hukum Archimedes (285-212 SM) menyatakan bahwa benda yang terapung atau terendam dalam zat cair akan mengalami gaya apung sebesar berat zat cair yang dipindahkan oleh benda tersebut. Hukum Archimedes dapat diterangkan dengan memandang suatu benda sembarang yang terendam dalam zat cair diam.

Setiap gaya hidrostatik tegak lurus bidang kerja

F0, F1, F2

Gaya F0 mempunyai padanan :

- F1 untuk arah vertikal

- F2 untuk arah horizontal

Komponen arah horizontal F0 dan F2 saling meniadakan

Komponen arah vertikal F0 dan F1 sebesar

dF = (h0γ-h1γ)dAx

= db x dAx x γ

Sehinggan gaya total yang bekerja pada benda terendam di air adalah F = V x γ

F disebut gaya archimedes dan V adalah volume cairan yang di pindahkan benda yang terendam.

4.2 Kesetimbangan/Stabilitas Benda Terapung

(a) Gambar 1.1 (b)

Suatu benda dikatakan stabil bila benda tersebut tidak terpengaruh oleh ganguan kecil (gaya) yang mencoba membuatnya tidak seimbang. Bila sebaliknya benda itu dikatakan dalam keadaan tidak stabil atau labil. Suatu benda terapung dalam keseimbangan stabil apabila pusat beratnya berada dibawah pusat apung . Benda terapung dengan kondisi tertentu dapat pula dalam keseimbangan stabil meskipun pusat beratnya berada di atas pusat apung. Gambar 1.1 menunjukkan tampang lintang suatu benda berbentuk kotak yang terapung di atas permukaan air. Pusat apung B adalah sama dengan pusat berat dari bagian benda yang berada di bawah permukaan air seperti ditunjukkan gambar 1.1. Pusat apung tesebut berada vertikal di bawahpusat berat G. Perpotongan antara sumbu yang melalui titik B dan G dengan bidang permukaan zat cair dan dasar benda adalah titik P dan O (gambar 1.1A)

Apabila benda digoyang (posisi miring) terhadap sumbu melalui P dari kedudukan seimbang, titik B akan berpindah pada posisi baru B’ , seperti yang ditunjukkan dalam gambar (1.1B).Sudut kemiringan benda terhadap bidang permukaan zat cair adalah . Perpindahan pusat apung ke titik B’ terjadi karena volume zat cair yang dipindahkan mempunyai bentuk yang berbeda pada waktu posisi benda miring. Dalam gambar (1.1b),titik metasentrum M adalah titik potong antara garis vertikal melalui B’ dan perpanjangan garis BG. Titik ini digunakan sebagai dasar di dalam menentukan stabilitas benda terapung. Pada gambar (1.1B), apabila titik M berada di atas G, gaya FB dan FG akan menimbulkan momen yang berusaha untuk mengembalikan benda pada kedudukan semula, dan benda disebut dalam kondisi stabil. Sebaliknya, apabila M berada di bawah G, momen yang ditimbulkan oleh FB dan FG akan menggulingkan benda sehingga benda tidak stabil. Sedang jika M berimpit dengan G maka benda dalam keseimbangan netral. Dengan demikian jarak MG dapat digunakan untuk mengetahui kondisi stabilitas. Apabila MG positif (M di atas G) maka benda akan stabil.Semakin besar nilai MG, semakin besar pula stabilitas terapung. Jika MG negatif (M di bawah G) maka benda adalah tidak stabil. Jarak MG disebut dengan tinggi metasentrum.

Setelah benda digoyang, di sebelah kanan sumbu simetris terjadi tambahan gaya apung sebesar dFB dan disebelah kiri terjadi pengurangan sebesar dFB. Apabila ditinjau suatu elemen dengan luas tampang dA dan terletak pada jarak x dari sumbu simetris, maka penambahan gaya apung adalah

dFB = x tg α dA γ

dengan x tg α dalah tinggi elemen.

Momen kopel

dM = x dF3 = x(x tg α dA γ) atau dM = x2 x tg α dA γ

Momen total M = γ tg α ∫ x2 dA

Dengan ∫ x2 dA adalah momen inersia tampang lintang benda terapung yang terpotong muka air terhadap sumbu rotasi, I0, sehingga bentuk diatas menjadi

M = γ tg α I0

Selain itu momen yang ditimbulkan oleh gaya apung terhadap sumbu simetris adalah

M : FB x BM sin α

M : γ V x BM sin α

Dengan V adalah volume air yang dipindahkan

Vγ x BM sin α = γ tg α I

Untuk nilai α kecil

Sin α = tg α, maka BM = I/V

#catatan: I adalah momen inersia tampang benda yang terpotong muka air

Tinggi metasentrum

GM = BM – BG

m = - BG

m disebut tinggi metasentrum dan I adalah momen inersia benda yang terpotong muka air, V adalah volume air yang di pindahkan benda, G adalah pusat berat benda, B adalah pusat gaya apung. Benda dalam keseimbangan stabil jka nilai m positif, dan dalam seimbanga labil jika nilai m negatif. Nilai BG positif jika G diatas B, nilai BG negatif jika G di bawah B. Jadi jika G di bawah B, maka benda selau seimbang dan stabil.

4.3 Penurunan Formula Kesetimbangan Benda Terapung

Resultan kedua gaya ini adalah gaya apung Fa.

Jadi, Fa = F2 – F1 karena F2> F1

= ρf g A h2 – ρf g A h1

= ρf g A (h2 – h1)

= ρf g A h, sebab h2 – h1 = h

= ρf g Vbf, sebab A h = Vbf, adalah volum silinder yang tercelup dalam fluida

Perhatikan ρf Vbf = mf, adalah massa fluida yang dipindahkan oleh bendaρfVbf g = mf g adalah berat fluida yang dipindahkan oleh benda. Jadi, gaya apungFa yangdikerjakan fluida pada benda sama dengan berat fluida yang dipindahkan oleh benda. Pernyataan ini berlaku untuk semua bentuk benda, dan telah dinyatakan sebelumnya sebagai Hukum Archimedes. Rumus :

Fa = mf g

Fa = ρf Vbfg

Denganρf adalah massa jenis fluida dan Vbfadalah volum benda yang tercelup dalam fluida. Catatan : Hukum archimedes berlaku untuk semua fluida (zat cair dan gas).

4.4 Penerapan Kesetimbangan Benda Terapung

a) Hidrometer

Hidrometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur massa jenis cairan. Nilai massa jenis cairan dapat diketahui dengan membaca skala pada hidrometer yang ditempatkan mengapung pada zat cair. Misalnya, dengan mengetahui massa jenis susu, dapat ditentukan kadar lemak dalam susu. Dengan mengetahui massa jenis zat cairan anggur, dapat ditentukan kadar alkohol dalam cairan anggur. Hidrometer juga umum digunakan untuk memeriksa muatan aki mobil.Hidrometer terbuat dari tabung kaca.Supaya tabung kaca terapung tegak di dalam zat cair, bagian bawah tabung dibebani dengan butiran timbal.Diameter bagian bawah tabung kaca dibuat lebih besar supaya volum zat cair yang dipindahkan hidrometer lebih besar. Dengan demikian, dihasilkan gaya apung yang lebih besar hingga hidrometer dapat mengapung di dalam zat cair. Dasar matematis prinsip kerja hidrometer adalah sebagai berikut.

Hidrometer terapung di dalam cairan, sehingga berlaku gaya ke atas = berat hydrometer

Vbfρf= w, dengan berat hydrometer w tetap

(Ahbf) ρf g =m g, sebab Vbf = Ahbf

Persamaan hydrometer,

Massa hidrometer m dan luas tangkai A adalah tetap, sehingga tinggi tangkai yang tercelup di dalam cairan hbf berbanding terbalik dengan massa jenis cairan ρf . Jika massa jenis cairan kecil (ρf kecil), tinggi hidrometer yangtercelup di dalam cairan besar (hbf besar). Akan didapat bacaan skala yang menunjukan angka yang lebih kecil.

b) Kapal laut

Massa jenis besi lebih besar daripada massa jenis air laut. Badan kapal yang terbuat dari besi dibuat berongga.Ini menyebabkan volum air laut yang dipindahkan oleh badan kapal menjadi sangat besar. Gaya apung sebanding dengan volum air yang dipindahkan, sehingga gaya apung menjadi sangat besar. Gaya apung ini mampu mengatasi berat total kapal sehingga kapal laut mengapung di permukaan laut. Jika dijelaskan berdasarkan konsep massa jenis, maka massa jenis rata – rata besi berongga dan udara yang menempati rongga masih lebih kecil daripada massa jenis air laut. Itulah sebabnya kapal mengapung.

c) Kapal Selam

Sebuah kapal selam memiliki tangki pemberat yang terletak di antara lambung sebelah dalam dan lambung sebelah luar.Tentu saja udara lebih ringan daripada air.Mengatur isi tangki pemberat berarti mengatur berat total kapal. Sesuai dengan konsep gaya apung, maka berat total kapal selam akan menentukan apakah kapal akan mengapung atau menyelam.

d) Balon udara

Seperti halnya zat cair, udara juga melakukan gaya apung pada benda. Gaya apung yang dilakukan udara pada benda sama dengan berat udara yang dipindahkan oleh benda. Prinsip gaya apung yang dikerjakan udara inilah yang dimanfaatkan pada balon udara. Prinsip kerjanya sebagai berikut. Mula – mula balon diisi dengan gas panas sehingga balon menggelembung dan volumnya bertambah. Bertambahnya volum balon berarti bertambah pula volum udara yang dipindahkan oleh balon. Ini berarti, gaya apung bertambah besar. Suatu saat gaya apung sudah lebih berat daripada berat total balon sehingga balon mulai bergerak naik.

BAB V

KINEMATIKA FLUIDA

5.1 Garis dan Fungsi Alir

Suatu pola aliran adalah suatu karakteristik dari garis-garis di dalam batas alirannya yang disebut garis-garis arus.

Gambar 3.1 Suatu pola aliran, garis arus dan pipa arus

Garis arus adalah suatu garis lurus atau melengkung yang dibentuk oleh gerak partikel cairan sedemikian sehingga garis singgung pada tiap-tiap titiknya merupakan vector kecepatan pada titik tersebut. Karena arah kecepatan menyinggung garis arus tersebut maka tidak akan ada aliran yang memotong garis tersebut. Hal ini dapat ditunjukkan dengan memisalkan suatu aliran dari suatu tanki melalui suatu lubang di salah satu sisinya seperti pada gambar 3.1.a. Pada gambar tersebut ditunjukkan sket pada lima titik pada posisi yang berbeda-beda yaitu posisi a, b, c, d dan e.

Karena tidak ada aliran yang akan menembus dinding dandasar tanki yang kedap air, maka semua garis arus yangberada di dekat dinding harus sejajar dengan batas kedapair tersebut. Oleh karena itu vektor kecepatan d dan epada gambar 3.1.a. sejajar dengan dasar dan dindingsaluran. Selama partikel cairan bergerak pada arah garisarus tersebut maka perpindahannya sejauh ds mempunyaikomponen dx, dy dan dz dan mempunyai arah dari vektorkecepatanV→yang mempunyai komponen kecepatan u, vdan diarah x, y, dan z.

Dari gambar 3.1.b. dapat dilihat persamaan garis arus adalah:

…(3.31)

Garis arus (streamline) adalah kurva khayal yang ditarik di dalam aliran zat cair untuk menunjukkan arah gerak di berbagai titik dalam aliran dengan mengabaikan fluktuasi sekunder yang terjadi akibat turbulensi. Partikel-partikel zat cair pada pergerakannya akan bergerak melalui suatu garis lintasan (path line) tertentu.

Koordinat partikel A(x,y,z) pada waktu t1, adalah tergantung pada koordinat awalnya (a,b,c) pada waktu to. Oleh karena garis lintasan sulit di Gambarkan untuk masing-masing partikel, maka untuk menggambarkan gerakan fluida dikenalkan suatu karakteristik aliran yaitu kecepatan (v) dan tekanan (p).

Garis singgung yang dibuat di sembarang titik pada lintasan partikel menunjukkan arah arus dan kecepatan partikel zat cair tersebut.

Garis arus tidak akan saling berpotongan atau bertemu. Apabila sejumlah arus ditarik melalui setiap titik di sekeliling suatu luasan kecil maka akan terbentuk suatu tabung arus (streamtubes). Oleh karena tidak ada aliran yang memotong garis arus, maka zat cair tidak akan keluar melalui diding tabung. Aliran hanya akan masuk dan keluar melalui kedua ujung tabung arus. Gambar dibawah ini menunjukkan suatu tabung arus.

5.2 Kecepatan dan Percepatan Alir

Percepatan partikel zat cair yang bergerak didefinisikan sebagai lajuperubahan kecepatan. Laju perubahan kecepatan ini bisa disebabkan olehperubahan geometri medan aliran atau karena perubahan waktu. Dipandang suatualiran melalui curat dengan tampang lintang mengecil dari sebuah tangki sepertitampak pada Gambar ini:

Apabila tinggi muka air dari sumbu curat adalah tetap, maka aliran melalui curatakan permanen dan kecepatan pada suatu titik adalah tetap terhadap waktu. Tetapikarena adanya pengecilan tampang curat, maka aliran disepanjang curat akandipercepat. Perubahan kecepatan karena adanya perubahan tampang aliran disebut dengan percepatan konveksi. Apabila tinggi muka air berubah (bertambah atauberkurang) maka kecepatan aliran di suatu titik dalam curat akan berubah denganwaktu, yang berarti aliran di titik tersebut mengalami percepatan. Percepatan inidisebut dengan percepatan lokal yang terjadi karena adanya perubahan aliranmenurut waktu. Dengan demikian apabila permukaan zat cair selalu berubah makaaliran di dalam curat akan mengalami percepatan konveksi dan lokal. Gabungandari kedua percepatan tersebut dikenal dengan percepatan total, dan aliran yangterjadi merupakan aliran tak mantap.

Perhatikan Gambar 5.5 yang menunjukan lintasan dari gerak partikel zatcair. Partikel tersebut bergerak dar titik O sampai ke titik P. Panjang lintasan OPadalah ds. Di titik O kecepatan partikel adalah V dan di titik P kecepatannyamenjadi V+dV. Selama gerak tersebut kecepatan partikel tidak tetap, tetapiberubah dengan waktu dan ruang.

Secara matematis dapat ditulis:

V = V (t, s) ... (5.1)

Percepatan partikel selam gerak tersebut adalah:

…(5.2)

Diferensial dV ditulis dalam bentuk diferensial parsiil:

… (5.3)

Substitusi persamaan (5.3) ke dalam persamaan (5.2) dan karena V = ds/dt maka didapat:

… (5.4)

Dimana dV/dt merupakan percepatan total yang terdiri dari percepatan lokaldan percepatan konveksi.

BAB VI

DINAMIKA FLUIDA I

(Hukum II Newton, Persamaan Momentum Fluida, Pengenalan Volume Atur)

Banyak persoalan praktis di bidang mekanika fluida yang membutuhkan analisis perilaku dari isi sebuah daerah terhingga (sebuah volume atur). Misalnya; menghitung gaya penahan yang dibutuhkan untuk menahan mesin jet padatempatnya selama suatu pengujian, memperkirakan berapa besar daya yang diperlukan untuk memindahkan air dari satu tempat ke tempat lainnya yang lebih tinggi dan berjarak beberapa mil jauhnya. Dasar-dasar dari metode analisis iniadalah beberapa prinsip dasar fisika, yaitu kekekalan massa, hukum kedua Newton tentang gerak. Jadi seperti yang bisa diperkirakan, teknik-teknik gabungan tersebut sangat berdaya guna dan dapat diterapkan pada berbagai macam kondisi mekanika fluida yang memerlukan penilaian keteknikan.

Hukum kedua Newton dari gerak sebuah sistem adalah:

Karena momentum adalah massa dikalikan dengan kecepatan, maka momentum dari sebuah partikel kecil adalah V. . Jadi, momentum dari seluruh sistem adalah dan hukum Newton menjadi:

Sistem koordinat atau acuan apapun di mana pernyataan ini berlaku disebut inersial. Sebuah sistem koordinat yang tetap adalah inersial. Sebuah koordinat sistem yang bergerak dalam sebuah garis lurus dengan kecepatan konstan, (tanpa percepatan), juga inersial. Kita selanjutnya mengembangkan rumus untuk volume atur bagi hukum yang penting ini. Apabila sebuah volume atur berimpit dengan sebuah sistem pada suatu saat, gaya-gaya yang bekerja pada sistem tersebut dan gaya-gaya yang bekerja pada kandungan dari volume atur yang berimpit (lihat gambar 4.2) dalam sesaat menjadi identik, artinya:

Lebih lanjut lagi, untuk sebuah sistem dan kandungan volume atur yang berimpit yang tetap dan tidak berdeformasi, teorema transport Reynolds memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa:

Atau

Suku momentum linier pada persamaan momentum memerlukan penjelasan yang sangat cermat. Di sini akan di perjelas arti penting fisiknya dalam subbab-subbab berikutnya.

Gambar: Gaya-gaya luar yang bekerja pada system dan volume atur

BAB VII

DINAMIKA FLUIDA II

7.1 Persamaan Kontinuitas

Salah satu penerapan konsep volume kontrol yang palingsederhana adalah penurunan persamaan kontinuitas, yaitupersamaan yang menyatakan bahwa di dalam aliran cairantermampatkan (compressible) jumlah aliran tiap satuanwaktu adalah sama di semua penampang di sepanjangaliran. Penurunan persamaankontinuitas dapat dilakukandengan menerapkan “hukum ketetapan masa” pada konsepvolume kontrol.Hukum ketetapan masa menyatakan bahwa masa di dalamsuatu sistem aliran akan tetap menurut waktu, yaitu:

dimana m adalah jumlah masa di dalam sistem.Misalkan H adalah jumlah masadi dalam sistem dan h adalah

maka persamaan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Kemudian, untuk mencari harga

, dapat digunakan suatu volume kontrol yang berbentuksuatu pipa arus seperti pada gambar berikut ini:

7.2 Persamaan Energi (Bernoulli)

Salah satu persamaan fundamental dalam persoalan dinamika fluida adalah persamaan Bernoulli. Persamaan ini memberi hubungan antara tekanan, kecepatan dan ketinggianpada titik-titik sepanjang garis alir. Penurunan persamaan Bernoulli dapat dilakukan dengan menggunakan hukum kekekalan energi, dalam hal ini kerja total (net-work) samadengan perubahan energi mekanik total yaitu perubahan energi kinetik ditambahperubahan energi potensial. Fluida dinamika yang memenuhi hukum Bernoulli adalah fluida ideal yang karakteristiknya; mengalir dengan garis-garis arus atau aliran tunak, takkompresibel dan tak kental.